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Analise  de  Circuitos em Corrente Alternada
Aula01: Tensão Alternada - Tensão Senoidal - Circuito Resistivo em CA
Bibliografia
Analise de Circuitos em Corrente Alternada - Editora Erica

1. Tensão  Continua. 

Como você bem sabe, uma tensão é chamada  de continua ou constante pois o seu valor não se altera com o tempo. Exemplo de geradores que geram tensão continua são as pilhas e as baterias. A Fig01 mostra o aspecto físico, símbolo e curva da tensão em função do tempo deste tipo de gerador.

               ( a)

                  ( b )                                              ( c )

Fig01: Gerador de tensão continua - ( a ) Aspecto físico ( b ) Símbolo e ( c ) gráfico da tensão em função do tempo           

 

O gráfico da figura 1 mostra o comportamento da tensão nos terminais da bateria ao longo do tempo: A tensão não muda, permanece constante.

2. Tensão Alternada

   É uma tensão  cujo valor  e polaridade  se modificam ao longo do tempo. Conforme o comportamento da  tensão então temos os diferentes tipos de tensão: Senoidal, quadrada, triangular, pulsante, etc. 
De todas essas,  a senoidal é a que  tem   um maior interesse  pois é a tensão que é gerada nas usinas  e que alimenta as industrias e residências. Antes de estudarmos mais a fundo a tensão senoidal, vamos procurar conceituar melhor  a tensão alternada. Seja o circuito da Fig02, no qual temos duas baterias e uma chave  que ora conecta a bateria B1 ao resistor, ora conecta a bateria B2 ao resistor. Vamos supor que   cada bateria fica conectada ao resistor durante 1s. Como seria o gráfico da tensão em função do tempo nos terminais da bateria ?


                                     ( a )                                                                             ( b )

Fig02: Gerando uma tensão alternada quadrada -  ( a ) Circuito  ( b ) Tensão em função do tempo

Observe  que:                                                                                                                                       

O valor negativo  significa que a polaridade  da tensão mudou. O tempo que leva para repetir uma mesma situação é 2s, sendo chamado de período (T). O valor máximo da tensão é 12V (com qualquer polaridade, sendo chamado de  valor de pico ou valor máximo VM). A seguir estudaremos mais em detalhes a tensão senoidal.

3.   Tensão Senoidal

É uma tensão que varia com o tempo de acordo com uma lei senoidal, portanto nesse caso temos uma  expressão matemática para expressar a tensão. A  expressão matemática é :

ou em função do angulo

  Onde  VM (em V)  é o valor de pico (valor maximo que a tensão pode  ter) e 

w  em (rd/s) é a freqüência angular 

 q0 em (rd ou graus)  é o angulo de fase inicial,   é  o ângulo  num determinado instante t.
Observe
  que a relação entre ângulo e tempo é dada por : 
  q = q0 + w.t
Esta equação é análoga à equação que rege o movimento uniforme de um móvel: 

                              S= S0+ v.t 

Fig03   mostra a sua representação  gráfica em função do tempo e a  Fig04  o gráfico em função do angulo.

Veja este vídeo sobre tensão alternada (em inglês):  http://www.allaboutcircuits.com/videos/29.html

3.1. Representação gráfica de uma Tensão Senoidal

Uma tensão senoidal varia em função do tempo de acordo com uma lei senoidal, portanto a sua representação será como na Fig03, mas a mesma tensão pode ser representada em função do angulo, Fig04, (não esqueça que  a função seno tem período de 360 graus ou de 2p rd), sendo a relação entre angulo  e tempo dada por :

                   
q =q0 +w.t  
A figura a seguir mostra o gráfico da tensão em função do tempo.  
v(t)=10.sen(w.t)

Fig03: Representação gráfica de uma  tensão senoidal  em função do tempo

 O gráfico a seguir mostra a mesma tensão em função do angulo.

v(q)=10.sen(q )  existindo uma relação entre angulo e tempo dada por: q=w.t

Fig04: Representação gráfica de uma  tensão senoidal  em função do angulo 

Na Fig03 e Fig04,  VPP (em V) é chamado de tensão de pico a pico,  T (em s)  é o período (tempo que o fenômeno leva para se repetir).

Pelos gráficos da Fig03 e Fig04  tiramos as seguintes conclusões: 

  como   q =w.t      se q =2 p

então o tempo será chamado de periodo (T)         t = T    logo:

        2.p=w.T   ou     w = 2 p/T    

O numero de ciclos completados segundos chamamos de freqüência (f). A freqüência está relacionada com o periodo por:

f =1/T (Hz)    logo  podemos também escrever  que:

    w=2 .p.f

3.2. Tensão Eficaz

 Para uma senoidal  definimos o seu valor eficaz (VRMS ou VEF) como sendo igual ao valor de uma tensão contínua que  produzirá a mesma dissipação de potência  que a tensão alternada em questão. No caso de uma tensão senoidal o seu valor eficaz é calculado por:

 

IMPORTANTE !!!!!

      

Obs: considerar 

 

para efeito  de calculo 

Por exemplo uma tensão  senoidal de  155V de pico é aplicada a uma resistência de 100 Ohms. Se ao mesmo resistor for aplicado uma tensão de 110V contínuos, a dissipação de potência será a mesma.

 

( a )

( b )

9

( d )

Fig05: ( a ) Tensão senoidal aplicada  a um resistor de 100 Ohms; ( b )  Tensão continua de valor igual ao valor eficaz da tensão senoidal aplicada a um resistor de 100 Ohms  

Veja este vídeo sobre tensão alternada (em inglês):   http://www.allaboutcircuits.com/videos/30.html
                                                                                                    http://www.allaboutcircuits.com/videos/31.html

Para  a  tensão senoidal  representada na Fig05 os seus parâmetros serão: VP=VM=155V  VPP =310V  
VRMS =155/1,41=110V

T=0,01666s=16,66ms     portanto f= 1/0,0166 = 60 ciclos/s = 60Hz                 

 w=2.p.60=377 rd/s       q0=0
Um resistor de 100 Ohms ao ser  conectado a essa tensão senoidal, dissipará  a mesma potência se for  conectado a uma tensão CC de 110V
                                                                                                                                                                  

 

Exercício1:  Para  as seguintes tensões senoidais, v1(t) e v2(t) pedem-se: a)  freqüência angular (w)  freqüência (f)   período (T)  b) angulo de fase inicial c) representar as tensões no Diagrama Fasorial, d) obter a soma das duas tensões.    

    v1(t) =  15.sen(2.pi.103.t ) ( V ).

    v2(t) =  20.sen(2.pi.103.t  + pi/2 )( V ).

 Solução:
a) Da expressão de v1 obtemos que  w1=2.p.103 rd/s  e como w=2.pi.f,  obtemos 

  f1=1000Hz=1KHz,

e  T1=1ms=0,001s.

O  valor de pico desta tensão é VM =15V, angulo de fase inicial   q0=
VRMS1  =15/1,41=10,6V

Para v2 temos que  w=2.p.103 rd/s  e portanto

f2=1000Hz=1KHz, e  T2=1ms=0,001s

o  valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial q0=90º=p/2.

VRMS2  =20/1,41=14,2V

A defasagem entre os dois sinais é de 9

Obtenha o arquivo Microcap  que tem as duas tensões, V1 e V2, e que apos uma analise transiente mostra as duas tensões

Exercício Resolvido 2: Representar as seguintes tensões senoidais 

  

Solução:
Da expressão de v1 obtemos que  w=pi.104 rd/s  e portanto f1=5000Hz=5KHz, e  T1=0,2ms=200ms .

O  valor de pico desta tensão é VM =5V, angulo de fase inicial

 

 q0=90º=pi/2.
VRMS1  =5/1,41=3,54V 

Para v2 temos que  w=2.pi.103 rd/s  e portanto f2=1000Hz=1KHz , e  T2=1ms=0,001s

o  valor de pico desta tensão é 20V, angulo de fase inicial =90º=pi/2..
VRMS1  =5/1,41=3,54V 
A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico em violeta representa V2. 

Obs:    - pi/2  = 3 pi/2  ( -90º = 270º)                                                                                      

Observe  que as duas tensões estão   defasadas entre si de 180º.

Exercício3:

Representar as seguintes tensões senoidais   

Solução:
Tensão v1:  VM =155V  , w1=120.pi rd/s ,    f1=w1/2.p = 60Hz  logo 
T1=1/f1 =1/60=16,66ms,   angulo de fase inicial         q0= -45º= -p/4  
VRMS1  =155/1,41=110V

Tensão v2:    VM =155V, w2=120.pi rd/s ,    f2=w2/2.pi=60Hz  logo 
T2=1/f2 =1/60=16,66ms ,    angulo de fase inicial   q0=0º. 
VRMS2  =155/1,41=110V

A seguir  os gráficos, sendo que o gráfico em violeta  representa V1 e V2 preta


3.3. Diagrama Fasorial

  É uma outra forma de representar  uma tensão senoidal. A Fig03 mostra como é construído o diagrama fasorial. Cada vetor (neste caso chamado de fasor), representa a tensão num determinado instante. Observe que o ângulo que o fasor  faz com o eixo horizontal representa o ângulo da tensão naquele instante.

No exemplo da figura 6 a tensão representada tem a expressão:  v(t)=10.sen(w.t) (V)

Diagrama Fasorial


Figura 6: Diagrama fasorial  e forma de onda de tensão senoidal associada
Referencia
  Livros : Analise de Circuitos em CA Circuitos em CA ; Editora Érica; Rômulo Oliveira Albuquerque

  O diagrama  da Fig06a representa a tensão da Fig06b que no caso, no instante t=0 vale zero e portanto a expressão da tensão em função do tempo é:

v(t) =VM.sen(wt)  pois q0 (angulo de fase inicial) vale zero. Caso  a tensão tivesse um angulo inicial,  a expressão seria dada por:

v(t) =VM.sen(wt+q0)  se a tensão estiver adiantada   ou  

 v(t) =VM.sen(wt - q0) se atrasada.

SINAL ADIANTADO   Ex:  v(t)=10.sen(w.t + q0)                   q0=900

                                                ( a )

SINAL ATRASADO     Ex:   v(t)=10.sen(w.t  + q0)     q0= - 900   ou  q0= 2700  

                                                          ( b )

Figura 7: Diagrama fasorial  com  angulo de fase inicial   ( a ) Positivo  (tensão adiantada)  ( b ) Negativo (tensão atrasada) 

Veja este vídeo sobre diagrama fasorial (em inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/32.html

                                                                                                  http://www.allaboutcircuits.com/videos/33.html

4. Circuitos Resistivos em CA

Em um circuito puramente resistivo (só com resistências)   alimentado  com uma tensão alternada (CA)  a tensão e a corrente estão em fase, sendo a relação entre elas dada pela   lei de ohm, isto é :

U =R.I  ou   I = U/R       sendo que usamos valores eficazes para I e U

Em termos de diagrama fasorial significa que os fasores representativos da tensão e da corrente estão em fase. A Fig08  mostra o diagrama fasorial da tensão e da corrente e o circuito.

Figura 8: Circuito puramente resistivo  - Diagrama  fasorial  de um circuito puramente resistivo 

Exercício 4: Representar graficamente   a tensão aplicada no circuito da Fig09,  e a corrente que o percorre  se é   alimentado por uma tensão  alternada  12V/60Hz

Solução:

No circuito  da Fig09  os valores calculados são :   I = 3mA  U1 = 3V    U2 = 9V  eficazes !!!

 

                                Figura 9: Circuito serie puramente  resistivo em CA - medida de tensão e corrente

5. Potencia     em CA  em Circuito  Resistivo

A potencia em CA é obtida pelo produto do valor instantâneo da tensão pela corrente instantanea, isto é:

p(t)=v(t).i(t)  

Fig10: Circuito puramente  resistivo em CA - Potencia em CA

Se v(t)=VP.senwt (V), a corrente estará em fase com a tensão e será dada por i(t)=IP.senwt (A), onde

Por exemplo, seja Vp=17V o que significa um valor eficaz de VRMS=12V

se  a carga for R=4 Ohms, a corrente terá valor de pico de Ip= 4,25A e valor eficaz de IRMS=3A.

 

 A figura a seguir mostra os gráficos da tensão e da corrente em função do tempo e da potencia instantânea (observe que o valor da potencia é sempre positivo).

Figura 11: Circuito puramente  resistivo em CA - Potencia em CA - Gráficos da tensão, corrente e potencia instantanea

A potência dissipada no resistor será igual ao valor medio da potencia instantanea, e pode ser calculado por:

P=VRMS.IRMS que no exemplo valem  P=12V.3A=36W

Veja este vídeo sobre circuito resistivo em CA (em inglês): http://www.allaboutcircuits.com/videos/34.html

6. Experiência 01- Circuito Resistivo em CA

6.1. Abra o  arquivo ExpCA01  (MicroCap)  ou ExpCA01 (Multisim) e identifique um dos circuitos  da Figura 12. Inicie a simulação em seguida meça  todas a s tensões  e  a corrente. Anote os valores na tabela I se Vg=17Vpico senoidal/60Hz.

Curso MicroCap

( a )

( b )

Figura 12: Circuito puramente resistivo - medida de corrente, tensão e potencia ( a ) MicroCap ( b ) Multisim

 

Tabela 1: Circuito resistivo em CA corrente, tensão e potencia - valores calculados e medidos

Valores Calculados Valores Medidos 
Valor eficaz da tensão Valor eficaz da corrente Potencia dissipada no resistor Valor eficaz da tensão Valor eficaz da corrente Potencia dissipada no resistor
           

 

6.2. Escreva as suas conclusões

Veja esse vídeo sobre aplicações de tensão alternada (em inglês):  http://www.allaboutcircuits.com/videos/35.html

Para maiores esclarecimentos consultar o Livro  Analise de Circuitos em Corrente Alternada Capitulo2

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